Können Sie den Unterschied zwischen Vektorgleichungen, parametrischen Gleichungen und kartesischen Gleichungen erklären?


Antwort 1:

Ich werde die Gleichung einer Ebene in verwenden

R3\R^3

als Beispiel.

Die allgemeinste Gleichung einer Ebene in kartesischer Form lautet

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

Dies ist nur eine algebraische Gleichung. kartesische Gleichungen sind nur multivariate Polynome (nicht umgekehrt). Wenn Sie die Menge der Nullen dieser Gleichung analysieren und diese Nullen grafisch darstellen würden

R3\R^3

Dann würden Sie ein Flugzeug bekommen.

Die Vektorgleichung einer Ebene lautet

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

Dies ist nur eine Gleichung mit Vektoren. Hier

v0\vec{v_0}

ist ein Punkt im Flugzeug und

v1\vec{v_1}

und

v2\vec{v_2}

sind Richtungsvektoren (zwei linear unabhängige Vektoren, die in der Ebene liegen). Die zweite Gleichung ist nur die in Matrixform erweiterte Vektorgleichung unter Verwendung der Koordinaten der Vektoren in Bezug auf die Standardbasis von

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

Die parametrische Gleichung einer Ebene lautet wie folgt

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

Es beschreibt jede Koordinate als Funktion von zwei Parametern

ss

und

tt

.