Wie beweisen Sie, dass der Unterschied zwischen einer ungeraden und einer geraden Ganzzahl ungerade ist?


Antwort 1:

Beweisen wir es durch Widerspruch, dh nehmen wir an, dass der Unterschied zwischen einer ungeraden und einer geraden Ganzzahl gerade ist. Nehmen Sie eine ungerade ganze Zahl der Form 2m + 1 an, wobei m> 0 ist. Nehmen Sie nun eine weitere Ganzzahl 2n, n> 0. Nehmen wir außerdem an, dass die gerade Ganzzahl kleiner als die fragliche ungerade Ganzzahl ist. Also 2m + 1 - 2n = 2k (sagen wir). Das Lösen der Gleichung auf LHS ergibt:

2 (mn) + 1 = 2k. Jetzt ist der Wert auf der LHS klar von der Form 2a + 1, wobei a = m - n ist. LHS ist also eine ungerade Zahl, während RHS eine gerade Zahl ist. Unsere ursprüngliche Hypothese ist also falsch. Somit ist bewiesen, dass der Unterschied zwischen einer ungeraden und einer geraden Zahl immer ungerade ist.


Antwort 2:

Nehmen Sie eine gerade ganze Zahl a und eine ungerade ganze Zahl b.

Sie können a als 2x schreiben, wobei x eine ganze Zahl ist, und b als 2y, wobei y keine ganze Zahl ist (per Definition von ungerade).

Wir wollen zeigen, dass 2x-2y ungerade ist.

Gehen Sie im Widerspruch vor:

Angenommen, 2x-2y ist gerade.

=> 2 (xy) = c, eine gerade ganze Zahl

=> xy = c / 2, eine ganze Zahl.

=> y = x + c / 2

=> y ist eine ganze Zahl

=> Es wurde ein Widerspruch gefunden


Antwort 3:

Wir können die ungerade ganze Zahl als ausdrücken

2x+12x+1

und das gerade als

2y2y

, wo

xx

und

yy

sind ganze Zahlen. Dann ist der Unterschied

2x+12y=2(xy)+12x+1-2y = 2(x-y) + 1

. Da die Differenz nicht durch 2 teilbar ist, ist sie ungerade.

Alternativ können wir modulare Arithmetik verwenden, um dies zu beweisen. Sei die ungerade ganze Zahl

mm

und die gerade ganze Zahl

nn

. Dann,

m1mod2m \equiv 1 \bmod 2

und

n0mod2n \equiv 0 \bmod 2

. Deshalb,

(mn)(10)mod21mod2(m-n) \equiv (1-0)\bmod 2 \equiv 1 \bmod 2

. Da der Unterschied zu 1 mod 2 kongruent ist, ist er ungerade.