Wie verstehen Sie den Unterschied zwischen etwas unendlich Kleinem und etwas Unbestehendem? Sind sie real unterscheidbar? https://www.youtube.com/watch?v=_mMuLwNR0J8


Antwort 1:

Nichts ist in der realen Welt unendlich klein; unendlich klein ist eine (sehr nützliche) mathematische Fiktion. Es gibt eine Länge, die Planck-Länge, jenseits derer es unmöglich ist, die Entfernung zu bestimmen, wie eine ultimative Unschärfe der Realität. Dies ist so klein, dass wir uns den Raum für fast alle praktischen Zwecke als kontinuierlich vorstellen und mathematisch damit arbeiten können, als ob er kontinuierlich wäre und immer weiter unterteilt werden könnte.

Unendlichkeit oder unendlich klein sind keine gewöhnlichen Zahlen. Sie werden als Grenzen in einem Prozess definiert. Unendlichkeit ist die Zahl, die größer als jede von Ihnen benannte Zahl ist und unendlich klein als ihre Umkehrung (1 / x) definiert werden kann.

Mathematisch gesehen ist das Nützliche, was Sie mit unendlich kleinen Zahlen tun können, sie mit anderen unendlich kleinen Zahlen zu vergleichen. Ihre Verhältnisse und Beziehungen werden in der Differentialrechnung verwendet, um alle möglichen nützlichen Dinge zu tun, beispielsweise die Flugbahn eines fallenden Balls oder eines Planeten zu berechnen. Wir könnten sagen, dass die unendlich kleine Entfernung, die ein Objekt zurücklegt, geteilt durch die unendlich kleine Zeit, die es benötigt, die momentane Geschwindigkeit des Objekts ist. Wir können weder die Zeit noch die Entfernung messen, aber wir wissen, dass sich das Objekt mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt. Später hat das Objekt eine andere Geschwindigkeit, sodass wir wissen, dass sich das Verhältnis von Entfernung zu Zeit geändert hat. Wir kümmern uns nicht um die tatsächlichen Zahlen für die zurückgelegte Strecke und die benötigte Zeit - sie sind nur unendlich klein -, aber wir kümmern uns um das Verhältnis - dh die Geschwindigkeit - und wie es sich im Laufe der Zeit als Reaktion auf ausgeübte Kräfte ändert.


Antwort 2:

Sehr oft neigen wir dazu, zwischen einer Annäherung und dem tatsächlichen Wert zu verwechseln.

Annäherung: Sie benötigen häufig keine Präzision bei Ihrer Messung (und es ist teuer, genau zu sein). Sie gehen also Kompromisse mit einer akzeptablen Toleranz für die Annäherung ein - daher wird alles, was kleiner als die Toleranz ist, im Wesentlichen ignoriert.

Istwert: Jetzt ist es fast unmöglich, den Istwert zu messen (betrachten Sie die Aufgabe, die Länge einer Tabelle auf atomarer oder subatomarer Ebene zu messen). Man muss jedoch die Existenz eines tatsächlichen Wertes anerkennen und sich damit abfinden, dass die meisten unserer Messungen Näherungswerte sind.

Kommen wir nun zu Ihrer Frage zurück (die Antwort liegt in Ihrer Frage selbst): Der Unterschied zwischen unendlich klein und ohne Wert ist einfach die Existenz eines Wertes (jedoch unendlich klein ist es nicht '0').

In der realen Welt hängt die Fähigkeit, zwischen beiden zu unterscheiden, stark von Ihrem Messwerkzeug ab. Mit jedem Messwerkzeug ist ein Fehlerfaktor verknüpft (es muss noch ein Messwerkzeug mit dem Fehler '0' gefunden werden). Ab heute ist es also nicht möglich, sie zu unterscheiden.

Selbst das Vakuum, das wir erzeugen können, ist kein perfektes Vakuum - das heißt, wir müssen noch einen Raum schaffen, der mit der vorhandenen Technologie zu 100% frei von jeglichen Dingen ist. Wir ziehen eine Linie im wirtschaftlichsten Vakuum und machen weiter mit dem, was wir tun wollen.

Hoffe, diese Antwort hat in gewissem Maße geholfen, wird sie überarbeiten, wenn Sie mehr Klarheit über die Frage geben können.


Antwort 3:

In der Standardanalyse können Sie nicht. Wenn Sie keine reelle Zahl zwischen Ihrem Infinitesimalwert und Null finden können, ist die Zahl Null. Wenn Sie zwei reelle Zahlen haben und keine reelle Zahl zwischen ihnen finden können, sind sie einander gleich.

In anderen geordneten Zahlensystemen wie den Hyperreals oder Surreals sind Infinitesimale ungleich Null in die Struktur eingebaut und unterscheiden sich von Null. Tatsächlich erhalten Sie eine unendliche Anzahl von Infinitesimalen, die sich voneinander unterscheiden. Das gleiche passiert mit einer ganzen Reihe von unendlichen Werten.

Schauen Sie sich also die Arten von Objekten und Axiomen an, mit denen Sie arbeiten, und prüfen Sie, ob sie konsistent sind.