Was ist im Kalkül der Unterschied zwischen einer undefinierten Funktion und einer diskontinuierlichen Funktion?


Antwort 1:

Wenn eine Funktion an einem Punkt undefiniert ist, ist sie dort sicherlich nicht stetig. Eine Funktion kann jedoch an einem Punkt definiert und dort dennoch diskontinuierlich sein. Wenn beispielsweise f (x) = 0 für Rationals und f (x) = 1 für Rationals ist, wird die Funktion f an jedem Punkt definiert und ist dennoch an jedem Punkt diskontinuierlich. Oder betrachten Sie die "Signum" -Funktion, sgn (x) = -1, wenn x <0, sgn (x) = 0, wenn x = 0, sgn (x) = 1, wenn x> 0. Diese Funktion wird an jedem Punkt und definiert ist an allen Punkten stetig, außer x = 0, wo es diskontinuierlich ist.


Antwort 2:

Eine Diskontinuität bei x = a (unter der Annahme, dass a innerhalb der Domäne liegt) kann in den folgenden Situationen auftreten:

  • Keiner von RHL und LHL existiert endlich. Einer von ihnen existiert nicht endlich. Beide existieren endlich und sie sind nicht gleich. Beide existieren endlich und sind gleich, aber sie sind nicht gleich f (a).

Eine Diskontinuität kann also auf viele Arten auftreten, selbst wenn f (a) definiert ist.

Andererseits ist f (x) bei x = a nicht definiert, wenn a nicht im Bereich von f liegt.