Antwort 1:

Der konzeptionelle Unterschied zwischen den beiden ist enorm. Rationale Zahlen werden rein algebraisch definiert: Sie beginnen mit dem Ring der ganzen Zahlen (der kleinste Ring, in dem sich ein Element unendlicher Ordnung befindet - nämlich Nummer 1) und nehmen sein Bruchfeld. Dies ist eine endliche, rein algebraische Prozedur. Es sind keine Analysekonzepte (wie Grenzen, Konvergenz usw.) erforderlich. Aber um reelle Zahlen zu definieren, brauchen wir eine Analyse. Insbesondere brauchen wir den Begriff einer „Metrik“ auf dem Feld der reellen Zahlen (was eine mathematische Formalisierung des Begriffs der Entfernung ist) und den Begriff der „Vervollständigung eines Feldes in Bezug auf eine Metrik“. Die Menge der reellen Zahlen ist definiert als die Vervollständigung des Feldes der rationalen Zahlen relativ zur Standardmetrik (archimedisch). Genauer gesagt handelt es sich um die Menge der Äquivalenzklassen der „Cauchy-Sequenzen“ rationaler Zahlen relativ zur Standardmetrik (es handelt sich tatsächlich um ein Feld).

Die Menge der rationalen Zahlen ist natürlich in der Menge der reellen Zahlen enthalten: Jede rationale Zahl x führt zu einer konstanten Cauchy-Folge (x, x, x, x,…). Das Komplement der Menge rationaler Zahlen in der Menge reeller Zahlen ist die Menge, die als Menge irrationaler Zahlen bezeichnet wird. Konkret können wir jede reelle Zahl in Dezimalform darstellen. Dies ist nur ein besonderer Weg, um eine Cauchy-Folge dieser Zahl aufzuzeichnen (nämlich die Cauchy-Folge, die einer Dezimaldarstellung einer reellen Zahl entspricht, ist die Folge ihrer ersten n Ziffern für alle n). Das Konzept der reellen Zahlen (und damit der irrationalen Zahlen) selbst hat jedoch nichts mit einer bestimmten Art der Darstellung von Zahlen zu tun. Zum Beispiel könnten wir stattdessen eine binäre Form oder eine andere "Basis-k" -Form verwenden. Dies ist nur eine Frage der Repräsentation. Das Konzept einer reellen Zahl wird unabhängig von einer bestimmten Darstellung definiert.

Wenn Sie sich diese Definition ansehen, wird klar, wie viel ausgefeilter irrationale Zahlen sind als rationale Zahlen. Rationale und irrationale Zahlen sind in keiner Weise zwei Seiten derselben Medaille. Zum Beispiel ist die erstere Menge zählbar und die letztere nicht (dies ist die Schlussfolgerung des diagonalen Arguments des berühmten Kantors). Rationale Zahlen bilden ein Feld (es ist ein Unterfeld des Feldes der reellen Zahlen), irrationale Zahlen jedoch nicht.

Ich möchte auch erwähnen, dass diese beiden Konzepte viele Gegenstücke in der Mathematik haben. Wir können mit jedem Ring anstelle des Rings von ganzen Zahlen beginnen; Zum Beispiel der Ring der Gaußschen ganzen Zahlen (a + bi), wobei i die Quadratwurzel von -1 ist und sein Bruchfeld nimmt. Wir können dann eine Metrik für dieses Feld einführen und deren Fertigstellung vornehmen. Wenn wir im Fall der Gaußschen Ganzzahlen die Standardmetrik (archimedisch) verwenden, erhalten wir als Vervollständigung das Feld komplexer Zahlen. Es gibt noch eine weitere Verallgemeinerung: Zusätzlich zur archimedischen Metrik auf dem Feld der rationalen Zahlen (oder dem Feld der Brüche eines anderen Rings, wie dem Ring der Gaußschen Ganzzahlen) gibt es andere Metriken. Für das Feld der rationalen Zahlen gibt es beispielsweise die sogenannten p-adischen Metriken für jede Primzahl p. Die Vervollständigung des Feldes der rationalen Zahlen in Bezug auf die p-adische Metrik wird das Feld der p-adischen Zahlen genannt. Diese sind genauso interessant zu studieren wie die Felder der reellen und komplexen Zahlen, und in den letzten 100 Jahren wurde auf diesem Gebiet viel geforscht. Ihre Frage führt uns zu einigen wirklich faszinierenden Ideen und Konstruktionen. (Für weitere Informationen googeln Sie einfach die Konzepte, die ich oben hervorgehoben habe.)


Antwort 2:

Ja.

Sobald Sie sie definieren, sind sie ziemlich unterschiedlich. Rationale Zahlen sind diejenigen Zahlen, die als Verhältnis zweier Ganzzahlen ausgedrückt werden können. Irrationale Zahlen sind solche, die nicht können. Es ist in der Regel einfacher, mit einer beliebigen rationalen Zahl zu rechnen und diese zu manipulieren, da ich sie, sobald ich weiß, dass ich eine habe, so aufschreiben kann, dass sie addiert, multipliziert, subtrahiert und dividiert werden kann. Irrationale verhalten sich nicht ganz so gut.

Die Tatsache, dass sie multiplikative Inversen haben, macht sie zu einem Feld. Im Rahmen der oben genannten Operationen sind sie ebenfalls geschlossen. Sie können zwei irrationale Zahlen multiplizieren und erhalten eine rationale - die irrationalen bluten auf eine Weise, die Rationalen nicht haben.

Darüber hinaus fühlen sich ihre Unendlichkeiten ganz anders an (und sind es auch). Eines ist die greifbare, vorstellbare, fast sichtbare Unendlichkeit der Zählzahlen und das andere ist die unverständliche Dichte des Kontinuums.

Ich bin sicher, dass es noch mehr gibt; Mein Wissen ist begrenzt, aber das sind die offensichtlichsten.


Antwort 3:

Ja.

Sobald Sie sie definieren, sind sie ziemlich unterschiedlich. Rationale Zahlen sind diejenigen Zahlen, die als Verhältnis zweier Ganzzahlen ausgedrückt werden können. Irrationale Zahlen sind solche, die nicht können. Es ist in der Regel einfacher, mit einer beliebigen rationalen Zahl zu rechnen und diese zu manipulieren, da ich sie, sobald ich weiß, dass ich eine habe, so aufschreiben kann, dass sie addiert, multipliziert, subtrahiert und dividiert werden kann. Irrationale verhalten sich nicht ganz so gut.

Die Tatsache, dass sie multiplikative Inversen haben, macht sie zu einem Feld. Im Rahmen der oben genannten Operationen sind sie ebenfalls geschlossen. Sie können zwei irrationale Zahlen multiplizieren und erhalten eine rationale - die irrationalen bluten auf eine Weise, die Rationalen nicht haben.

Darüber hinaus fühlen sich ihre Unendlichkeiten ganz anders an (und sind es auch). Eines ist die greifbare, vorstellbare, fast sichtbare Unendlichkeit der Zählzahlen und das andere ist die unverständliche Dichte des Kontinuums.

Ich bin sicher, dass es noch mehr gibt; Mein Wissen ist begrenzt, aber das sind die offensichtlichsten.


Antwort 4:

Ja.

Sobald Sie sie definieren, sind sie ziemlich unterschiedlich. Rationale Zahlen sind diejenigen Zahlen, die als Verhältnis zweier Ganzzahlen ausgedrückt werden können. Irrationale Zahlen sind solche, die nicht können. Es ist in der Regel einfacher, mit einer beliebigen rationalen Zahl zu rechnen und diese zu manipulieren, da ich sie, sobald ich weiß, dass ich eine habe, so aufschreiben kann, dass sie addiert, multipliziert, subtrahiert und dividiert werden kann. Irrationale verhalten sich nicht ganz so gut.

Die Tatsache, dass sie multiplikative Inversen haben, macht sie zu einem Feld. Im Rahmen der oben genannten Operationen sind sie ebenfalls geschlossen. Sie können zwei irrationale Zahlen multiplizieren und erhalten eine rationale - die irrationalen bluten auf eine Weise, die Rationalen nicht haben.

Darüber hinaus fühlen sich ihre Unendlichkeiten ganz anders an (und sind es auch). Eines ist die greifbare, vorstellbare, fast sichtbare Unendlichkeit der Zählzahlen und das andere ist die unverständliche Dichte des Kontinuums.

Ich bin sicher, dass es noch mehr gibt; Mein Wissen ist begrenzt, aber das sind die offensichtlichsten.